Mis à jour le 09/04/2026
Il y a près d’un siècle, le physicien Erwin Schrödinger, célèbre pour son expérience de pensée du chat, posait les bases de la mécanique quantique moderne avec l’équation qui porte aujourd’hui son nom. Cette équation, qui décrit l’évolution d’un système quantique dans le temps, fait intervenir un ingrédient mathématique pour le moins étrange : le nombre imaginaire i, racine carrée de −1. Depuis lors, les physiciens se demandent si cet objet mathématique est réellement indispensable pour décrire le monde quantique. Alors que l’on pensait la question définitivement tranchée, deux chercheurs, Mischa Woods, chargé de recherche au Centre Inria de Lyon au sein de l’équipe-projet QInfo, et Timothée hoffreumon, mathématicien à l’Institut mathématique de l’Académie slovaque des sciences, viennent de la revisiter dans un article intitulé (en anglais) “Quantum theory does not need complex numbers”. Leur travail montre qu’il est possible de reformuler l’équation de Schrödinger en n’utilisant que des nombres réels. Pour mieux comprendre cette approche et ses implications, je suis allé à la rencontre de l’un de ses coauteurs, Mischa Woods. Une nouvelle perspective qui pourrait éclairer les fondements de la théorie quantique et invite à repenser l’un des piliers de la physique moderne.
Dessin représentant la formulation moderne de l'équation de schrodinger contenant l'unité imaginaire "i"
Les nombres imaginaires au cœur de la mécanique quantique
Mais commençons par le commencement : qu’est-ce qu’un nombre complexe ?
Pour le dire simplement, les nombres complexes sont une extension des nombres réels introduite par les mathématiciens pour résoudre certains problèmes de calcul. Ils combinent deux composantes : une partie réelle et une partie imaginaire, construite à partir du nombre i, défini comme la racine carrée de −1.
Comme le souligne Mischa Woods : « L’étrangeté des nombres imaginaires a des racines historiques profondes. Les nombres complexes sont d’abord apparus en mathématiques pures, où ils ont longtemps été perçus avec méfiance car ils n’avaient pas d’interprétation physique évidente. Pendant des siècles, de nombreux mathématiciens les ont considérés comme purement formels, voire dénués de sens, malgré leur utilité indéniable pour les calculs. »
Grâce à cet outil mathématique, les chercheurs ont pu résoudre de nombreux problèmes beaucoup plus facilement. Mais, dans la plupart des cas, ces nombres étaient utilisés uniquement par commodité : les équations physiques pouvaient toujours être réécrites en n’utilisant que des nombres réels. Mischa précise : « Historiquement, toutes les théories physiques précédentes, comme la mécanique newtonienne ou la théorie classique des ondes, pouvaient être formulées entièrement avec des nombres réels. Les nombres complexes étaient utiles comme outils mathématiques, mais jamais indispensables. »
Cependant, ce n’est pas le cas en mécanique quantique. L’équation de Schrödinger, formulée au début du XXe siècle, fait explicitement intervenir le nombre imaginaire i, et pendant longtemps, il a semblé impossible de la reformuler uniquement avec des nombres réels. Ce constat pose un véritable paradoxe. Pour Mischa « Les quantités physiques que nous mesurons directement , comme la position, l’énergie ou le temps, sont des nombres réels. Pourtant, les équations fondamentales de la théorie sont écrites en termes d’amplitudes complexes. Cela crée un décalage conceptuel : les nombres complexes fonctionnent extrêmement bien d’un point de vue mathématique, mais il n’est pas évident de savoir à quoi ils correspondent physiquement. »
Pour expliquer cette situation, certains physiciens ont longtemps supposé que les propriétés les plus étranges de la mécanique quantique étaient précisément liées à l’utilisation des nombres complexes : « Puisque la mécanique quantique s’éloigne déjà fortement de l’intuition classique, avec des phénomènes comme la superposition et l’intrication, beaucoup se sont demandé si ces caractéristiques “étranges” étaient liées à l’utilisation des nombres complexes. »
Image
Verbatim
Puisque la mécanique quantique s’éloigne déjà fortement de l’intuition classique, avec des phénomènes comme la superposition et l’intrication, beaucoup se sont demandé si ces caractéristiques “étranges” étaient liées à l’utilisation des nombres complexes.
Auteur
Mischa Woods
Poste
chargé de recherche à Inria à Lyon au sein de l’équipe-projet QInfo
Un doute qui relance la question
Et longtemps, cette idée a persisté. Les nombres complexes semblaient indissociables de la mécanique quantique. En 2021, Mischa Woods assiste à un séminaire présentant un article, publié par la suite dans la revue Nature, qui propose une description d’une expérience permettant d’exclure les alternatives utilisant uniquement des nombres réels. Ces expériences ont été réalisées peu après, apportant la preuve expérimentale que la théorie quantique, et donc l’équation de Schrödinger, nécessite fondamentalement l’utilisation de nombres complexes.
Mais en y réfléchissant, quelque chose le laisse sceptique. « À première vue, cette affirmation semblait plausible, mais elle me laissait un certain malaise : elle semblait reposer sur des hypothèses qui n’étaient pas clairement physiques. » Un peu plus tard, lors d’une conférence, il rencontre le mathématicien Timothée Hoffreumon, qui deviendra son coauteur et ami. Très vite, ils se rendent compte qu’ils partagent les mêmes doutes. « Cela nous a poussés à examiner l’argument plus en détail. Nous avons alors constaté que les preuves reposaient sur des hypothèses assez subtiles qui, lorsqu’on les examine de près, sont difficiles à justifier. » Ce doute les conduit à replonger dans la littérature scientifique :
Notre motivation était de revisiter cette vieille question avec un regard neuf et d’examiner si les tentatives précédentes de formulation entièrement réelle avaient échoué simplement parce qu’elles posaient les mauvaises questions.
Reposer la question
En revenant aux fondements du problème, les chercheurs aboutissent finalement à un résultat inattendu. En examinant de plus près les arguments avancés dans les travaux précédents, ils constatent que certaines des hypothèses utilisées pour démontrer la nécessité des nombres complexes ne sont en réalité pas physiques. La conclusion dépend donc en grande partie de la manière dont le problème est formulé. En abordant la question sous un angle différent, les deux chercheurs montrent alors par le biais d'un article intitulé (titre en anglais) "Quantum theory does not need complex numbers" qu’il est possible de reformuler la mécanique quantique, et en particulier l’équation de Schrödinger, en n’utilisant que des nombres réels tout en conservant les propriétés essentielles. Dans cette nouvelle formulation, l’unité imaginaire n’apparaît plus explicitement dans les équations. Pourtant, les phénomènes physiques qu’elle permettait de décrire restent bien présents : les prédictions expérimentales de la théorie demeurent strictement identiques. Autrement dit, la mécanique quantique fonctionne toujours de la même manière. Seule son écriture change.
Mais au fond, qu’est-ce que ça change ?
Eh bien… à la fois tout et rien. Rien, car cela ne modifie pas les résultats de la théorie. La mécanique quantique reste exactement la même du point de vue des prédictions expérimentales. Mais cette reformulation ouvre une nouvelle manière de comprendre la structure de la théorie. D’un point de vue conceptuel, elle permet de remettre en question l’idée selon laquelle les nombres imaginaires seraient indissociables de la physique quantique. Cette hypothèse était séduisante, presque rassurante : si la mécanique quantique est étrange, c’est peut-être parce qu’elle repose sur des nombres eux-mêmes “étranges”. Mais cette explication semble finalement superflue.
Pour Mischa Woods, ce type de recherche fondamentale permet avant tout de mieux comprendre ce qui est réellement essentiel dans la théorie :
Reformuler la mécanique quantique sans dépendre explicitement du nombre imaginaire nous oblige à repenser quels aspects de la théorie sont véritablement essentiels et lesquels ne sont que des artefacts d’une représentation mathématique particulière.
Dans le domaine de l’informatique quantique, au cœur des recherches menées par l’équipe-projet QInfo, cette meilleure compréhension pourrait s’avérer précieuse. La mécanique quantique constitue la base théorique de toutes les technologies quantiques. Une meilleure compréhension de sa structure pourrait aider à clarifier ce que les ordinateurs quantiques peuvent réellement faire. Pour Mischa Woods, toutefois, l’intérêt principal de cette recherche ne réside pas dans ses applications immédiates, mais avant tout dans le défi intellectuel. Comme il le résume lui-même, ce qui l’a motivé en premier lieu, c’est : « le défi conceptuel ». Mais n’oublions pas que l’histoire des sciences montre que revisiter des principes que l’on pensait établis conduit souvent à des avancées inattendues. Et parfois, il suffit de regarder une équation vieille d’un siècle sous un angle différent pour ouvrir de nouvelles pistes de recherche.
